"Бабу су му стрељали, а сестра му је погинула" Костићев отац био је наш чувени глумац који је преминуо када је Вук имао 21 годину

Вук нерадо открива детаље из приватног живота, али о оцу, од ког је наследио таленат за глуму, је увек говорио са великим поносом и поштовањем. Како је једом приликом рекао, легендарни глумац никада није престао да му недостаје, али и да је од њега могао много тога да научи. - Мој отац је у кратком року доживео низ трагедија које су га обележиле и због којих је касније нас држао на окупу. Имао је само седам година кад му је мајка преминула пред сам почетак рата